Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，為橢圓短軸的一個端點，為橢圓的右焦點，線段的延長線與橢圓相交于點，且.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線與橢圓相交于，兩點，為坐標原點，若直線與的斜率之積為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意得b=2，由，得到，代入橢圓方程，結合a2＝b2+c2，聯立解出即可．

（2）解法一：先考慮斜率存在時，設直線的方程為，與橢圓方程聯立，將條件坐標化，把根與系數的關系代入可得：，代入中，化簡得，又，可得所求范圍，再考慮斜率不存在時，求得點A，B坐標，計算數量積，與k存在時的范圍取并集即可.

解法二：設直線OA斜率為k，將直線OA的方程與橢圓聯立，求得A的坐標，利用寫出B的坐標，代入化簡后，利用基本不等式求得最值.

（1）設橢圓的方程為，右焦點，

因為為橢圓短軸的一個端點，則.因為，則點.

因為點在橢圓上，則，即.

又，則，得，所以橢圓的標準方程是.

（2）解法一：當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

代入橢圓方程，得，即.

設點，，則，.

因為，則，即，即，

即，所以，

即，化簡得.

所以 .

因為 ，，則，

所以.

又，則，即，則，所以.

當直線的斜率不存在時，點，關于軸對稱，則.

因為，不妨設，則.聯立與，得點，，或點，，此時.

綜上分析，的取值范圍是.

解法二：因為，設，則.

設點，，則，即，

所以.

由，得，即，所以.

同理，.

所以 .

因為，當且僅當，即時取等號，則.

即，且，所以的取值范圍是.