Question

如圖，已知AB=2c（常數c＞0），以AB為直徑的圓有一內接梯形ABCD，且AB∥CD，若橢圓以A，B為焦點，且過C，D兩點，則當梯形ABCD的周長最大時，橢圓的離心率為______．

Answer 1

設∠BAC=θ，過C作CE⊥AB，垂足為E，則
BC=2csinθ，EB=BCcos（90°-θ）=2csin²θ，∴CD=2c-4csin²θ，
梯形的周長l=AB+2BC+CD=2c+4csinθ+2c-4csin²=-4c（sinθ-

1

2

）2+5c．
當sinθ=

1

2

，即θ=30°時，l有最大值5c，這時，BC=c，AC=

3

c，a=

1

2

（AC+BC）=

3 +1

2

c，
∴e=

c

a

=

c

3 +1 2 c

=

3

-1．
故答案

3

-1