Question

【題目】在二項式的展開式中，

（1）若展開式中第5項、第6項與第7項的二項式系數成等差數列，求展開式中二項式系數最大的項的系數；（最后結果用算式表達，不用計算出數值）

（2）若展開式前三項的二項式系數的和等于79，求展開式中系數最大的項．（最后結果用算式表達，不用計算出數值）

Answer 1

【答案】(1) 當時，最大項系數為和；當時最大項系數為.(2) .

【解析】

(1)由成等差數列可求出或，進而可求出展開式中二項式系數最大的項的系數；

(2)由可求出，令可求出，從而可求其系數.

解：展開式中第項為.

(1) 則第5項、第6項與第7項的二項式系數為成等差數列，則，

即，即，解得或.

當時，二項式系數最大項為，此時系數為和.

當時，二項式系數最大項為，此時系數為.

(2) 前三項的二項式系數為，其和為79.即，即

，整理得，，解得或(舍去).

設展開式中第項系數最大，即，解得，，

因為，所以，即展開式中第9項系數最大，系數為.