Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數.

(1)若在處取到極小值，求的值及函數的單調區間；

(2)若當時， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】【試題分析】（1）令可求得的值.利用二階導數求得函數點的單調區間.（2）對求導，并對分成，三類討論函數的最小值，由此求得的取值范圍.

【試題解析】

（Ⅰ）由，得

因為，所以，所以

令，則，

當時，，故在單調遞增，且

所以當，.

即當時，，當時，.

所以函數在上遞減，在上遞增.

（Ⅱ）【法一】由，得

（1）當時，，在上遞增

（合題意）

（2）當時，，當時，

①當時，因為，所以，.

在上遞增，（合題意）

②當時，存在時，滿足

在上遞減，上遞增，故.

不滿足時，恒成立

綜上所述，的取值范圍是.

【法二】由，發現

由在恒成立，知其成立的必要條件是

而， ，即

①當時，恒成立，此時在上單調遞增，

（合題意）.

②當時，在時，有，知，

而在時，，知，

所以在上單調遞增，即（合題意）

綜上所述，的取值范圍是.