Question

已知函數.

(1)若曲線在和處的切線互相平行，求的值；

(2)求的單調區間；

(3)設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）. （2） ①當時， 的單調遞增區間是，單調遞減區間是. ②當時， 的單調遞增區間是和，單調遞減區間是. （3）.

【解析】

試題分析：.                   

（1），解得.                          

（2）.                    

①當時，，，

在區間上，；在區間上，

故的單調遞增區間是，單調遞減區間是.     

②當時，，

在區間和上，；在區間上，

故的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.

③當時，， 故的單調遞增區間是.  

④當時，，

在區間和上，；在區間上，

故的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.   

（3）由已知，在上有.             

由已知，，由（2）可知，

①當時，在上單調遞增，

故，

所以，，解得，故. 

②當時，在上單調遞增，在上單調遞減，

故.

由可知，，，

所以，，，                       

綜上所述，.  

考點：本題考查了導數的運用

點評：對于函數與導數這一綜合問題的命制，一般以有理函數與半超越（指數、對數）函數的組合復合且含有參量的函數為背景載體，解題時要注意對數式對函數定義域的隱蔽，這類問題重點考查函數單調性、導數運算、不等式方程的求解等基本知識，注重數學思想方法的運用.