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【題目】如圖，在直三棱柱中，分別為，的中點，，.

（1）求證：；

（2）若直線和平面所成角的正弦值等于，求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由線線垂直，證明線面垂直，即平面，再證明

（2）以點為坐標原點建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，通過法向量之間的夾角余弦值，得到二面角的正弦值.

（1）在直三棱柱中，平面,

，

又，且，平面，，

∴平面，又∵平面，

∴.

（2）以點為坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標系.

設，則，，，，，，，，

直線的方向向量，

平面的法向量，

可知，∴，

，，，

設平面的一個法向量，∴取，

設平面的一個法向量，∴取，

記二面角的平面角為，，∴，

∴二面角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了調查高中生的數學成績與學生自主學習時間之間的相關關系，新苗中學數學教師對新入學的名學生進行了跟蹤調查，其中每周自主做數學題的時間不少于小時的有人，余下的人中，在高三模擬考試中數學成績不足分的占，統計成績后，得到如下的列聯表：

分數大于等于分

分數不足分

合計

周做題時間不少于小時

4

19

周做題時間不足小時

合計

45

（）請完成上面的列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“高中生的數學成績與學生自主學習時間有關”．

（）（i）按照分層抽樣的方法，在上述樣本中，從分數大于等于分和分數不足分的兩組學生中抽取名學生，設抽到的不足分且周做題時間不足小時的人數為，求的分布列（概率用組合數算式表示）．

（ii）若將頻率視為概率，從全校大于等于分的學生中隨機抽取人，求這些人中周做題時間不少于小時的人數的期望和方差．

附：

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在等腰梯形ABCD中，，，E，F為AB的三等分點，且將和分別沿DE、CF折起到A、B兩點重合，記為點P．

證明：平面平面PEF；

若，求PD與平面PFC所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.滿足2acosC+bcosC+ccosB=0.

(Ⅰ)求角C的大��；

(Ⅱ)若a=2,△ABC的面積為，求C的大小。

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某公司培訓員工某項技能，培訓有如下兩種方式：

方式一：周一到周五每天培訓1小時，周日測試

方式二：周六一天培訓4小時，周日測試

公司有多個班組，每個班組60人，現任選兩組記為甲組、乙組先培訓；甲組選方式一，乙組選方式二，并記錄每周培訓后測試達標的人數如表：

第一周

第二周

第三周

第四周

甲組

20

25

10

5

乙組

8

16

20

16

用方式一與方式二進行培訓，分別估計員工受訓的平均時間精確到，并據此判斷哪種培訓方式效率更高？

在甲乙兩組中，從第三周培訓后達標的員工中采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求這2人中至少有1人來自甲組的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知為拋物線：的焦點，過的動直線交拋物線于，兩點．當直線與軸垂直時，．

（1）求拋物線的方程；

（2）設直線的斜率為1且與拋物線的準線相交于點，拋物線上存在點使得直線，，的斜率成等差數列，求點的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】“新車嗨翻天!首付3000元起開新車”這就是毛豆新車網打出來的廣告語．某人看到廣告，興奮不已，計劃于2019年1月在該網站購買一輛某品牌汽車，他從當地了解到近五個月該品牌汽車實際銷量如表：

月份

2018.08

2018.09

2018.10

2018.11

2018.12

月份編號t

1

2

3

4

5

銷量y（萬輛）

0.5

0.6

1

1.4

1.7

（1）經分析，可用線性回歸模型擬合當地該品牌汽車實際銷量y（萬輛）與月份編號t之間的相關關系．請用最小二乘法求y關于t的線性回歸方程，并估計2019年1月份該品牌汽車的銷量：

（2）為了增加銷量，廠家和毛豆新車網聯合推出對購該品牌車進行補貼．已知某地擬購買該品牌汽車的消費群體十分龐大，某調研機構對其中的200名消費者的購車補貼金額的心理預期值進行了一個抽樣調查，得到如下一份頻數表：

補貼金額預期值

區間（萬元）

[1，2）

[2，3）

[3，4）

[4，5）

[5，6）

[6，7）

頻數

20

60

60

30

20

10

將頻率視為概率，現用隨機抽樣方法從該地區擬購買該品牌汽車的所有消費者中隨機抽取3人，記被抽取3人中對補貼金額的心理預期值不低于3萬元的人數為ξ，求ξ的分布列及數學期望E（ξ）

參考公式及數據：①回歸方程，其中，；②．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知直線l：與橢圓交于A，B兩點，點P是橢圓C上異于A，B的一個動點，點Q在直線AB上，滿足(為坐標原點)

（1）求點Q的軌跡方程；

（2）求四邊形OAPB的面積S的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點處的切線反射．已知光線從橢圓的一個焦點出發，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點出發被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點發出；如圖，橢圓與雙曲線（，）有公共焦點，現一光線從它們的左焦點出發，在橢圓與雙曲線間連續反射，則光線經過次反射后，首次回到左焦點所經過的路徑長為______．

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