Question

某旅游景點2010年利潤為100萬元，因市場競爭，若不開發新項目，預測從2011年起每年利潤比上一年減少4萬元．2011年初，該景點一次性投入90萬元開發新項目，預測在未扣除開發所投入資金的情況下，第n年（n為正整數，2011年為第1年）的利潤為100（1+

1

3n

）萬元．
（1）設從2011年起的前n年，該景點不開發新項目的累計利潤為A_n萬元，開發新項目的累計利潤為B_n萬元（須扣除開發所投入資金），求A_n、B_n的表達式；
（2）依上述預測，該景點從第幾年開始，開發新項目的累計利潤超過不開發新項目的累計利潤？

Answer 1

分析：（1）根據題意得，A_n是首項為96，公差為-4的等差數列的前n項和；B_n是數列{100(1+

1

3n

)}的前n項和與90的差；故可以求出A_n，B_n；
（2）由（1）知，求出B_n-A_n的表達式，可判斷B_n-A_n是數集N^*上的單調遞增數列，且有：B₄-A₄＜0，B₅-A₅＞0，得出結論．

解答：解：（1）依題意，知A_n是首項為100-4=96，公差為-4的等差數列的前n項和，
所以，A_n=96n+

n(n-1)×(-4)

2

=98n-2n²；
數列{100(1+

1

3n

)}的前n項和為：100n+

100

3

×

1- 1 3n

1- 1 3

=100n+50(1-

1

3n

)，
∴B_n=100n+50(1-

1

3n

)-90=100n-40-

50

3n

；
（2）由（1）得，B_n-A_n=(100n-40-

50

3n

)-（98n-2n²）=2n+2n²-40-

50

3n

，
B_n-A_n是數集N^*上的單調遞增數列，
觀察并計算知：B₄-A₄=-

50

81

＜0，B₅-A₅=20-

50

243

＞0，
所以從第5年開始，開發新項目的累計利潤超過不開發新項目的累計利潤．

點評：本題考查了等差數列，等比數列的概念以及前n項和公式的綜合應用，在數列求和時，需要認真審題，仔細解答．