Question

（2012•桂林模擬）已知數列{a_n}是正項數列，其首項a₁=3，前n項和為Sn，4Sn=

a

2 n

+2an+4(n≥2)．
（1）求數列{a_n}的第二項a₂及通項公式；
（2）設bn=

1

Sn

，記數列{b_n}的前n項和為K_n，求證：Kn＜

17

21

．

Answer 1

分析：（1）由題設知S2=(

a2

2

)2+

a2

2

+1，解得a₂=4，由Sn=(

an

2

)2+

an

2

+1，n≥2，得Sn-1=(

an-1

2

)2+

an-1

2

+1，n≥3，由此能求出數列{a_n}的第二項a₂及通項公式
（2）由S_n=n²+n+1，知bn=

1

Sn

=

1

n2+n+1

＜

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項求和法能夠證明Kn＜

17

21

．

解答：解：（1）∵數列{a_n}是正項數列，其首項a₁=3，
前n項和為Sn，4Sn=

a

2 n

+2an+4(n≥2)，
∴S2=(

a2

2

)2+

a2

2

+1，
∴3+a₂=(

a2

2

)2+

a2

2

+1，
解得a₂=4，或a₂=-2（舍），
由Sn=(

an

2

)2+

an

2

+1，n≥2，
得Sn-1=(

an-1

2

)2+

an-1

2

+1，n≥3，
兩式相減，得：(

an+an-1

2

)•(

an-an-1

2

-1)=0，n≥3，
∴a_n-a_n-1=2，n≥3，
∴an=

3，n=1 2n，n≥2

．
（2）∵S_n=n²+n+1，
∴bn=

1

Sn

=

1

n2+n+1

＜

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，
∴k_n≤

1

3

+

1

7

+(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=

1

3

+

1

7

+(

1

3

-

1

n

)
＜

1

3

+

1

7

+

1

3

＜

17

21

．

點評：本題考查數列的通項公式和前n項和公式的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化，注意錯位相減法的合理運用．