Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+c（a，b，c∈R，a≠0）的圖象過點P（-1，2）且在P處的切線與直線x-3y=0垂直．
（Ⅰ）若c=0，試求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若a＞0，b＞0且f（x）在區間（-∞，m）及（n，+∞）上均為增函數，試證：n-m＞1．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可得f′（-1）=3a-2b，過P的切線與直線x-3y=0垂直，c=0，可解得a=1，b=3，從而利用導數法可求得函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=（a+1），代入f′（x）=3ax²+2bx，可得f'（x）=3ax²+3（a+1）x，利用f′（x）≥0得：x≤-或x≥0，結合題意即可證得結論．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²+c，
∴f′（x）=3ax²+2bx，
∴f′（-1）=3a-2b，
又過P的切線與直線x-3y=0垂直，
∴3a-2b=-3，
又c=0，
∴f（-1）=-a+b=2，聯立，解得a=1，b=3．
∴f（x）=x³+3x²，f'（x）=3x²+6x；
由f'（x）≥0⇒x≤-2或x≥0；f'（x）＜0⇒-2＜x＜0
∴f（x）在（-∞，-2]及[0，+∞）上單調遞增，在[-2，0]上單調遞減．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，b=（a+1），
∴f'（x）=3ax²+3（a+1）x且a＞0，令f′（x）≥0得：x≤-或x≥0，
又f（x）在區間（-∞，m）及（n，+∞）上均為增函數，
∴n-m≥0-（-）==1+＞1．
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，求得f（x）=x³+3x²是基礎，靈活應用導數與單調性間的關系是解決問題的關鍵，屬于中檔題．