Question

設函數f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a。
（1）當a=0時，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍；
（2）當m=2時，若函數k（x）=f（x）-h（x）在［1，3］上恰有兩個不同零點，求實數a的取值范圍；
（3）是否存在實數m，使函數f（x）和函數h（x）在公共定義域上具有相同的單調性？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）由a=0，f（x）≥h（x）可得-mlnx≥-x，即
記，則f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立等價于
求得
當時，
當時，
故在x=e處取得極小值，也是最小值，即
故；
（2）函數k（x）=f（x）-h（x）在［1，3］上恰有兩個不同的零點等價于方程x-2lnx=a
在［1，3］上恰有兩個相異實根。
令g（x）=x-2lnx，則
當時，
當時，
g（x）在[1，2]上是單調遞減函數，在上是單調遞增函數
故
又g（1）=1，g（3）=3-2ln3
∵g（1）>g（3）
∴只需g（2）＜a≤g（3）
故a的取值范圍是（2-2ln2，3-2ln3]；
（3）存在m=，使得函數f（x）和函數h（x）在公共定義域上具有相同的單調性

函數f（x）的定義域為（0，+∞）
若，則
函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，不合題意
若，由可得2x²-m>0，解得x＞或x＜-（舍去）
故時，函數的單調遞增區間為（，+∞），單調遞減區間為（0， ）
而h（x）在（0，+∞）上的單調遞減區間是（0，），單調遞增區間是（，+∞）
故只需
解之得m=
即當m=時，函數f（x）和函數h（x）在其公共定義域上具有相同的單調性。