Question

已知函數f(x)=

x 1 3 -x- 1 3

5

，g(x)=

x 1 3 +x- 1 3

5

；
（Ⅰ）證明f（x）是奇函數；
（Ⅱ）證明f（x）在（-∞，-1）上單調遞增；
（Ⅲ）分別計算f（4）-5f（2）•g（2）和f（9）-5f（3）•g（3）的值，由此概括出涉及函數f（x）和g（x）的對所有不等于零的實數x都成立的一個等式，并加以證明．

Answer 1

分析：（I）先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，再判斷f（x）與f（-x）的關系，結合函數奇偶性的定義，即可得到答案．
（II）任取x₁＜x₂＜-1，作差判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，根據函數單調性的定義易得到結論；
（III）將4與2，9與3分別代入函數f(x)=

x 1 3 -x- 1 3

5

，g(x)=

x 1 3 +x- 1 3

5

及得到結論，歸納后可得結論，由函數的解析式，不難對結論進行證明．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），是關于原點對稱的；
又f(-x)=

(-x) 1 3 -(-x)- 1 3

5

=

-x 1 3 +x- 1 3

5

=-f(x)
∴f（x）是奇函數．（4分）
（Ⅱ）設x₁＜x₂＜-1，則：f(x1)-f(x2)═

1

5

(x1

1

3

-x2

1

3

)(1+

1

x1 1 3 •x2 1 3

)，
∵x

1

3

-x2

1

3

＜0，

1

x1x2

＞0，(

1

x1x2

)

1

3

＞01+

1

x1 1 3 •x2 1 3

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．即f（x₁）＜f（x₂）且x₁＜x₂
∴f（x）在（-∞，-1）上單調遞增．（8分）
（Ⅲ）算得：f（4）-5f（2）•g（2）=0；f（9）-5f（3）•g（3）=0；
由此概括出對所有不等于零的實數x都成立的等式是：f（x²）-5f（x）•g（x）=0（12分）
下面給予證明：∵f（x²）-5f（x）•g（x）=

x 2 3 -x- 2 3

5

-5•

x 1 3 -x- 1 3

5

•

x 1 3 +x- 1 3

5

=

1

5

(x

2

3

-x-

2

3

)-

1

5

(x

2

3

-x-

2

3

)=0
∴f（x²）-5f（x）•g（x）=0對所有不等于零的實數x都成立．（14分）

點評：本題考查的知識點為函數的奇偶性的判斷，函數單調性的判斷與證明及歸納推理，其中熟練掌握函數性質的定義及判斷方法是解答本題的關鍵．