Question

已知數列{an}中，a1＝2，n∈N*，an＞0，數列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋1＝.

(1)求{Sn}的通項公式；

(2)設{bk}是{Sn}中的按從小到大順序組成的整數數列．

①求b3；

②存在N(N∈N*)，當n≤N時，使得在{Sn}中，數列{bk}有且只有20項，求N的范圍．

 

Answer 1

（1）Sn＝1＋（2）①6②N∈[761，840]

【解析】(1)an＋1＝Sn＋1－Sn，

∴(Sn＋1－Sn)(Sn＋1＋Sn－2)＝2；即(Sn＋1)2－(Sn)2－2(Sn＋1－Sn)＝2，

∴(Sn＋1－1)2－(Sn－1)2＝2，且(S1－1)2＝1，∴{(Sn－1)2}是首項為1，公差為2的等差數列，

∴Sn＝1＋.

(2)①n＝1時，S1＝1＋1＝2＝b1，n＝5時，S5＝1＋3＝4＝b2，n＝13時，S13＝1＋5＝6＝b3.

②∵2n－1是奇數，Sn＝1＋為有理數，則＝2k－1，

∴n＝2k2－2k＋1，當k＝20時，n＝761；當k＝21時，n＝841；

∴存在N∈[761，840]，當n≤N時，使得在{Sn}中，數列{bk}有且只有20項．