Question

函數f（x）=x³+ax²+bx+c，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于直線y=3x+1，若函數y=f（x）在x=-2時有極值．
（1）求a，b的值；
（2）求函數f（x）的單調區間； 
（3）若函數f（x）在區間[-3，1]上的最大值為10，求f（x）在該區間上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）切點在切線上求出點P的坐標，然后根據曲線上過點P（1，f（1）） 的切線方程為y=3x+1，且函數y=f（x）在x=-2 時有極值得f'（1）=3，f'（-2）=0，建立不等式組，解之即可求出a，b的值；．
（2）先求出其導函數，根據導函數值大于0以及小于0即可求出函數f（x）的單調區間；
（3）先分析出何時取最大值，結合最大值為10求出c，再結合函數值即可得到f（x）在該區間上的最小值．
解答：解：（1）由題意知P（1，4），
f′（x）=3x²+2ax+b                        …（2分）
∵曲線上過點P（1，f（1）） 的切線方程平行與y=3x+1，且函數y=f（x）在x=-2 時有極值．
∴，解得  ．
∴f（x）=x³+2x²-4x+c             
（2）∵f'（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2）
∴x＞，x＜-2，f'（x）＞0；
-2＜x＜，f'（x）＜0．
∴函數f（x）的單調增區間為：（-∞，-2）（，+∞）
單調減區間為：（-2，）
（3）∵函數在[-3，-2）上增，（-2，）上減，（，1]上增；
且f（-2）=8+c，f（1）=-1+c；f（-3）=3+c，f（）=-+c；
由函數f（x）在區間[-3，1]上的最大值為10，
得f（-2）=8+c=10⇒c=2，
∴f（x）在該區間上的最小值為：．
點評：本題考查導數的幾何意義：導數在切點處的值是切線的斜率；考查函數單調遞增對應的導函數大于等于0恒成立．