Question

已知雙曲線的左、右頂點分別為A₁、A₂，點P(x₁，y₁)，Q(x₁，-y₁)是雙曲線上不同的兩個動點，
(Ⅰ)求直線A₁P與A₂Q交點的軌跡E的方程；
(Ⅱ)若過點H(0，h)(h＞1)的兩條直線l₁和l₂與軌跡E都只有一個交點，且l₁⊥l₂，求h的值。

Answer 1

解：(Ⅰ)由題設知，
則有直線A₁P的方程為，①
直線A₂Q的方程為，②
聯立①②解得交點坐標為，
即，③
則x≠0，|x|＜，
而點P(x₁，y₁)在雙曲線上，
∴，
將③代入上式，整理得所求軌跡E的方程為且x≠±。
(Ⅱ)設過點H(0，h)的直線為y=kx+h（h＞1），
聯立，得，
令得，
解得，
由于l₁⊥l₂，則，故h=，
過點A₁，A₂分別引直線l₁，l₂通過y軸上的點H（0，h)，且使l₁⊥l₂，
因此A₁H⊥A₂H，由，得h=，
此時，l₁，l₂的方程分別為y=x+與y=-x+，
它們與軌跡E分別僅有一個交點與，
所以，符合條件的h的值為或。