Question

【題目】如圖，三棱柱中，，為四邊形對角線交點，為棱的中點，且平面.

（1）證明：平面；

（2）證明：四邊形為矩形.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）取中點，連結，由題意且，證出，且，進而可得，利用線面平行的判定定理即可證出.

（2）首先證出，利用線面垂直的性質定理證出，再利用線面垂直的判定定理證出平面，從而可證出，根據，即證.

證明：（1）取中點，連結.

在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，

且.

因為為平行四邊形對角線的交點，所以為中點，

又為中點，所以，且.

又，，所以，且.

又為中點，所以，且，

所以為平行四邊形，

所以，

又因為平面，平面，

所以平面：

（2）因為，為中點，所以，

又因為平面，平面，所以.

因為，，平面，平面，，

所以平面.

又平面，所以，

又由（1）知，所以，

在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，

所以四邊形為矩形.