Question

（2009•上海模擬）已知數列{a_n滿足a₁=

2

5

，且對任意n∈N*，都有

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

．
（Ⅰ）求證：數列{

1

an

}為等差數列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）試問數列{a_n}中a_k•a_k+1是否仍是{a_n}中的項？如果是，請指出是數列的第幾項；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過對已知條件的轉化，可以得到

1

an+1

-

1

an

=

3

2

，所以數列{

1

an

}是

5

2

為首項，公差

3

2

的等差數列，繼而可求a_n
（Ⅱ）得到an=

2

3n+2

之后，a_k•a_k+1=

2

3k+2

•

2

3(k+1)+2

=

4

9k2+21k+10

=

2

3 • 3k2+7k+2 2 +2

，再去判斷就容易了．

解答：解：（Ⅰ）∵a_na_n+1+2a_n=4a_na_n+1+2a_n+1，2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，
∴

1

an+1

-

1

an

=

3

2

，
所以數列{

1

an

}是

5

2

為首項，公差

3

2

的等差數列．                     …（4分）
可得數列{

1

an

}的通項公式

1

an

=

3n+2

2

，所an=

2

3n+2

．…（6分）
（Ⅱ）ak•ak+1=

2

3k+2

•

2

3(k+1)+2

=

4

9k2+21k+10

=

2

3• 3k2+7k+2 2 +2

．                        …（8分）
因為

3k2+7k+2

2

=k2+3k+1+

k(k+1)

2

，…（10分）
k是正整數時，

k(k+1)

2

一定是正整數，所以

3 k2+7k+2

2

是正整數．
（也可以從k的奇偶性來分析）
所以a_k•a_k+1是數{a_n}中的項，是

3k2+7k+2

2

項．                 …（12分）

點評：本題考查數列的遞推關系，解題的關鍵是對條件合理轉化，通過轉化后可求a_n，從而可以判斷a_k•a_k+1是否為數列a_n中的項．