【題目】如圖，四棱錐
中，側面
底面
，
，
，
，
，
，
分別為
的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）在線段
上是否存在一點
，使
與平面所成角的正弦值為
，若存在求出
的長，若不存在說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）
（3）存在；
【解析】
（1）取
中點
，可證明
且
，從而證明
，進而可證明
平面
；（2）分別以
為
軸建立空間直角坐標系，求出各個點的坐標，利用向量法可求出二面角
的余弦值；（3）假設存在
點，利用向量法求
與平面所成角的正弦值為
時點的坐標，判斷是否在線段
上，進而求出
的長.
（1）證明：取中點，連接
，
，即
，
所以
為平行四邊形，
平面，
平面，因此
平面.
（2）解：因為
，
為
的中點，所以
，又因為側面
底面
且交線為，所以
平面，
分別以為軸建立空間直角坐標系.
，
平面
的法向量
，
，
，設平面
的法向量
，
則
令
，得
.
所以
，因此二面角的余弦值為.
（3）解：設
，
，
，
平面的法向量
，
所以
，
解得
或
（舍），所以存在
，
所以
.
黃岡小狀元解決問題天天練系列答案
三點一測快樂周計劃系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國古代數學名著《九章算術》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.甍，屋蓋也.”今有底面為正方形的屋脊形狀的多面體（如圖所示），下底面是邊長為2的正方形，上棱
，EF//平面ABCD，EF與平面ABCD的距離為2，該芻甍的體積為（ ）
A.6B.
C.
D.12
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
．
（1）若橢圓
的離心率為
，求
的值；
（2）若過點
任作一條直線
與橢圓交于不同的兩點
，在
軸上是否存在點
，使得
， 若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為實現2020年全面建設小康社會，某地進行產業的升級改造.經市場調研和科學研判，準備大規模生產某高科技產品的一個核心部件，目前只有甲、乙兩種設備可以獨立生產該部件.如圖是從甲設備生產的部件中隨機抽取400件，對其核心部件的尺寸x，進行統計整理的頻率分布直方圖.
根據行業質量標準規定，該核心部件尺寸x滿足：|x﹣12|≤1為一級品，1＜|x﹣12|≤2為二級品，|x﹣12|＞2為三級品.
（Ⅰ）現根據頻率分布直方圖中的分組，用分層抽樣的方法先從這400件樣本中抽取40件產品，再從所抽取的40件產品中，抽取2件尺寸x∈[12，15]的產品，記ξ為這2件產品中尺寸x∈[14，15]的產品個數，求ξ的分布列和數學期望；
（Ⅱ）將甲設備生產的產品成箱包裝出售時，需要進行檢驗.已知每箱有100件產品，每件產品的檢驗費用為50元.檢驗規定：若檢驗出三級品需更換為一級或二級品；若不檢驗，讓三級品進入買家，廠家需向買家每件支付200元補償.現從一箱產品中隨機抽檢了10件，結果發現有1件三級品.若將甲設備的樣本頻率作為總體的慨率，以廠家支付費用作為決策依據，問是否對該箱中剩余產品進行一一檢驗？請說明理由；
（Ⅲ）為加大升級力度，廠家需增購設備.已知這種產品的利潤如下：一級品的利潤為500元/件；二級品的利潤為400元/件；三級品的利潤為200元/件.乙種設備產品中一、二、三級品的概率分別是
，
，
.若將甲設備的樣本頻率作為總體的概率，以廠家的利潤作為決策依據.應選購哪種設備？請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】學生考試中答對但得不了滿分的原因多為答題不規范，具體表現為:解題結果正確，無明顯推理錯誤，但語言不規范、缺少必要文字說明、卷面字跡不清、得分要點缺失等，記此類解答為“
類解答”為評估此類解答導致的失分情況，某市教研室做了項試驗:從某次考試的數學試卷中隨機抽取若干屬于“類解答”的題目，掃描后由近百名數學老師集體評閱，統計發現，滿分12分的題，閱卷老師所評分數及各分數所占比例大約如下表:
教師評分（滿分12分） | 11 | 10 | 9 |
各分數所占比例 |
|
|
|
某次數學考試試卷評閱采用“雙評+仲裁”的方式，規則如下:兩名老師獨立評分，稱為一評和二評，當兩者所評分數之差的絕對值小于等于1分時，取兩者平均分為該題得分；當兩者所評分數之差的絕對值大于1分時，再由第三位老師評分，稱之為仲裁，取仲裁分數和一、二評中與之接近的分數的平均分為該題得分；當一、二評分數和仲裁分數差值的絕對值相同時，取仲裁分數和前兩評中較高的分數的平均分為該題得分.(假設本次考試閱卷老師對滿分為12分的題目中的“類解答”所評分數及比例均如上表所示，比例視為概率，且一、二評與仲裁三位老師評分互不影響).
（1）本次數學考試中甲同學某題(滿分12分)的解答屬于“類解答”，求甲同學此題得分
的分布列及數學期望
;
（2）本次數學考試有6個解答題，每題滿分12分，同學乙6個題的解答均為“類解答”.
①記乙同學6個題得分為
的題目個數為
計算事件
的概率.
②同學丙的前四題均為滿分，第5題為“類解答”，第6題得8分.以乙、丙兩位同學解答題總分均值為依據，談談你對“類解答”的認識.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓規是用來畫橢圓的一種器械，它的構造如圖所示，在一個十字形的金屬板上有兩條互相垂直的導槽，在直尺上有兩個固定的滑塊A，B，它們可分別在縱槽和橫槽中滑動，在直尺上的點M處用套管裝上鉛筆，使直尺轉動一周，則點M的軌跡C是一個橢圓，其中|MA|＝2，|MB|＝1，如圖，以兩條導槽的交點為原點O，橫槽所在直線為x軸，建立直角坐標系.
（1）將以射線Bx為始邊，射線BM為終邊的角xBM記為φ（0≤φ＜2π），用
表示點M的坐標，并求出C的普通方程；
（2）已知過C的左焦點F，且傾斜角為α（0≤α
）的直線l1與C交于D，E兩點，過點F且垂直于l1的直線l2與C交于G，H兩點.當
，|GH|，
依次成等差數列時，求直線l2的普通方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為迎接
年北京冬季奧運會，普及冬奧知識，某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動．現從參加冬奧知識競賽活動的學生中隨機抽取了
名學生，將他們的比賽成績（滿分為分）分為
組：
，
，
，
，
，
，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求
的值；
（2）記
表示事件“從參加冬奧知識競賽活動的學生中隨機抽取一名學生，該學生的比賽成績不低于
分”，估計的概率；
（3）在抽取的名學生中，規定：比賽成績不低于分為“優秀”，比賽成績低于分為“非優秀”．請將下面的
列聯表補充完整，并判斷是否有
的把握認為“比賽成績是否優秀與性別有關”？
優秀 | 非優秀 | 合計 | |
男生 |
| ||
女生 |
| ||
合計 |
|
參考公式及數據：
，
．
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知四棱錐
中，平面
平面
，
，
，
，
，
為棱
上一動點，點
是
的中點．
（1）求證：
；
（2）若
，問是否存在點E，使得二面角
的余弦值為
？若存在，求出點E的位置；若不存在，請說明理由．
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