Question

已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，-cosx），設函數f（x）=•（+）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調增區間；
（3）若函數g（x）=f（x）-k，，其中k∈R，試討論函數g（x）的零點個數．

Answer 1

解：（1）函數f（x）=•（+）=（sinx，cosx）•（sinx+cosx，0）
=sin²x+sinxcosx=+=．
所以函數的最小正周期為：π．
（2）因為函數 ，由 ，即 ，
所以函數的單調增區間為：．
（3），，所以，
，
函數g（x）=f（x）-k=-k，，其中k∈R，
當k或時，零點為0個；
當時函數有兩個零點，
當時，函數有一個零點；
分析：（1）通過向量的數量積求出函數的表達式，利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數化為一個角的一個三角函數的形式，即可求出函數的最小正周期．
（2）利用正弦函數的單調增區間，直接求出函數的單調增區間即可．
（3）求出函數在時函數的取值范圍，即可根據函數的零點的判斷方法推出函數零點的個數．
點評：本題是中檔題，考查向量的數量積的應用，三角函數的化簡求值，函數的單調增區間的求法，函數零點的判斷方法，考查計算能力．