Question

已知橢圓C的兩個焦點為F₁（-1，0）、F₂（1，0），離心率e=．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N（M、N不是左、右頂點），且以MN為直徑的圓經過橢圓的右頂點A．求證：直線l過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

解：（1）∵橢圓C的兩個焦點為F₁（-1，0）、F₂（1，0），離心率e=，
∴c=1，a=2，b=，
∴橢圓C的方程為．
（2）將y=kx+m（k≠0）代入，消去y，得
（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N，
∴△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
整理得：3+4k²-m²＞0．①…（6分）
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
則，…（8分）
由已知，AM⊥AN，且橢圓的右頂點為A（2，0）
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0…（9分）
即
也即
整理得：7m²+16mk+4k²=0
解得：m=-2k或 ，均滿足①…（11分）
當m=-2k時，直線l的方程為 y=kx-2k，過定點（2，0），舍去
當時，直線l的方程為 ，過定點，
故，直線l過定點，且定點的坐標為．…（13分）
分析：（1）由橢圓C的兩個焦點為F₁（-1，0）、F₂（1，0），離心率e=，知c=1，a=2，b=，由此能導出橢圓C的方程．
（2）將y=kx+m（k≠0）代入，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N，知△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，由此入手，能導出直線l過定點，且定點的坐標為．
點評：本題考查橢圓方程的求法，證明直線過定點，并求出定點坐標，具體涉及到橢圓的基本性質、直線與橢圓的位置關系、韋達定理等基礎知識，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．