Question

已知數列{a_n}為公差不為零的等差數列，a₁=1，各項均為正數的等比數列{b_n}的第1項、第3項、第5項分別是a₁、a₃、a₂₁．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）求數列{a_nb_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）設數列{a_n}的公差為d，數列{b_n}的公比為q，根據題意用等比中項建立關于d的等式，解出d=4，得到a_n=4n-3．由此再算出{b_n}的公比，利用等比數列通項公式即可得到b_n=3^n-1；
（2）利用錯位相減法將S_n與3S_n的兩個等式作差，結合等比數列求和公式化簡整理，可得S_n=[（4n-5）×3ⁿ+5]．
解答：解：（1）設數列{a_n}的公差為d，數列{b_n}的公比為q
由題意，得，
即（a₁+2d）²=a₁（a₁+20d），解之得d=4（舍去0）
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3
而{b_n}的首項b₁=a₁=1，公比滿足q²===9，得q=3
∴b_n=b₁×3^n-1=3^n-1
綜上所述，數列{a_n}與{b_n}的通項公式分別為a_n=4n-3、b_n=3^n-1；
（2）由（1）得a_nb_n=（4n-3）×3^n-1
∴S_n=1×1+5×3¹+9×3²+…+（4n-7）×3^n-2+（4n-3）×3^n-1…①
兩邊都乘以9，得
3S_n=1×3¹+5×3²+9×3³+…+（4n-7）×3^n-1+（4n-3）×3ⁿ…②
①-②，得-2S_n=1+4（3¹+3²+…+3^n-1）-（4n-3）×3ⁿ
=4×+1-（4n-3）×3ⁿ=（5-4n）×3ⁿ-5
∴數列{a_nb_n}的前n項和S_n=[（4n-5）×3ⁿ+5]
點評：本題給出等差數列與等比數列，在等比數列的第1項、第3項、第5項分別是等差數列的第1項、第3項、第21項時，求它們的通項公式，并求數列{a_nb_n}的前n項和．著重考查了等差等比數列的通項公式、求和公式和錯位相減法求數列的前n項和等知識，屬于中檔題．