Question

【題目】已知函數，若是函數的唯一極值點，則實數的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

由f（x）的導函數形式可以看出ex-kx=0在（0，+∞）無變號零點，
令g（x）=ex-kx，g′（x）=ex-k，需要對k進行分類討論來確定導函數為0時的根．

∵函數的定義域是（0，+∞），
∴ ．
x=1是函數f（x）的唯一一個極值點
∴x=1是導函數f′（x）=0的唯一根．
∴ex-kx=0在（0，+∞）無變號零點，
令g（x）=ex-kx
g′（x）=ex-k
①k≤0時，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）時單調遞增的
g（x）的最小值為g（0）=1，g（x）=0無解
②k＞0時，g′（x）=0有解為：x=lnk
0＜x＜lnk時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減；x＞lnk時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增.
∴g（x）的最小值為g（lnk）=k-klnk
∴k-klnk≥0
∴0＜k≤e

綜上所述，k≤e．
故選：A．