Question

已知二次函數f（x）滿足：f（0）=4，f（2-x）=f（2+x），且該函數的最小值為1．
（1）求此二次函數f（x）的解析式；
（2）若函數f（x）的定義域為A=[m，n]（其中0＜m＜n）．問是否存在這樣的兩個實數m，n，使得函數f（x）的值域也為A？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據f（2-x）=f（2+x），可知函數的對稱軸為直線x=2，又函數的最小值為1，可設f（x）=a（x-2）²+1，再利用f（0）=4，可求二次函數f（x）的解析式；
（2）由于函數的對稱軸為直線x=2，函數f（x）的定義域為A=[m，n]，故需要分類討論：①當m＜n≤2時，函數在定義域內為單調減函數，故有

f(m)=n f(n)=m

；②當m＜2＜n時，依題意m=f（2）=1，再考慮n＞3與2＜n≤3；③當2≤m＜n時，函數在定義域內為單調增函數，故有

f(m)=m f(n)=n

，從而問題得解．

解答：解：（1）依題意：由f（2-x）=f（2+x）知，函數的對稱軸為直線x=2，根據函數的最小值為1，可設f（x）=a（x-2）²+1，
因f（0）=4，代入得a=

3

4

，所以f（x）=

3

4

(x-2)2+1=

3

4

x2-3x+4
（2）假設存在這樣的m，n，分類討論如下：
①當m＜n≤2時，依題意，

f(m)=n f(n)=m

，即

3 4 m2-3m+4=n 3 4 n2-3n+4=m

兩式相減，整理得m+n=

8

3

，代入進一步得m=n=

4

3

，產生矛盾，故舍去；
②當m＜2＜n時，依題意m=f（2）=1
若n＞3，f（n）=n，解得n=4或

4

3

（舍去）
若2＜n≤3，n=f（1）=

7

4

，產生矛盾，故舍去
③當2≤m＜n時，依題意，

f(m)=m f(n)=n

即

3 4 m2-3m+4=m 3 4 n2-3n+4=n

解得m=

4

3

，n=4，產生矛盾，故舍去；
綜上：存在滿足條件的m，n，其中m=1，n=4．

點評：本題重點考查二次函數的性質，考查二次函數的解析式，考查二次函數的值域，解題的關鍵是搞清函數的單調性與函數對稱軸的關系．