【題目】如圖，在三棱柱
中，
、
分別為
、
的中點，
，
，
.
⑴求證：
平面
；
⑵求二面角
的正弦值；
⑶已知
為棱
上的點，若
，求線段
的長度.
【答案】（1）證明見解析（2）
（3）
【解析】
（1）證明
，
，再根據
，從而得到線面垂直的證明；
（2）以點
為坐標原點，分別以
的方向為
軸的正方向，利用向量法求得二面角的余弦值，再利用同角三角函數的基本關系求得正弦值；
（3）結合（2）中
，求得點
，再求
的值，從而求得線段
的長度.
（1）在三角形
中，
且為
的中點，
所以.①
在
中，
,
.
連接
，在
中，
，
所以
.
又
，所以
，所以.②
又因為，③
由①②③，得
平面
.
（2）以點為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系
，
則
，
所以
.
設
為平面
的法向量，
則有
即
令
，得
所以
.
易得，
且為平面的法向量，
所以
，
，
所以
.
故所求二面角
的正弦值為
（3）由（2）知.
設點
，則
.
又
，
，
所以
，從而
即點.
所以
.
所以
.
小學生10分鐘口算測試100分系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】根據閱兵領導小組辦公室介紹，2019年國慶70周年閱兵有59個方(梯)隊和聯合軍樂團，總規模約1．5萬人，是近幾次閱兵中規模最大的一次．其中，徒步方隊15個．為了保證閱兵式時隊列保持整齊，各個方隊對受閱隊員的身高也有著非常嚴格的限制，太高或太矮都不行．徒步方隊隊員，男性身高普遍在175cm至185cm之間；女性身高普遍在163cm至175cm之間，這是常規標準．要求最為嚴格的三軍儀仗隊，其隊員的身高一般都在184cm至190cm之間．經過隨機調查某個閱兵陣營中女子100人，得到她們身高的直方圖，如圖，記C為事件：“某一閱兵女子身高不低于169cm”，根據直方圖得到P(C)的估計值為0．5．
(1)求直方圖中a，b的值；
(2)估計這個陣營女子身高的平均值 (同一組中的數據用該組區間的中點值為代表)
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校隨機抽取部分新生調查其上學所需時間（單位：分鐘），并將所得數據繪制成頻率分布直方圖（如圖）．已知上學所需時間的范圍是
，樣本數據分組為
，
，
，
，
．
（1）求直方圖中x的值；
（2）如果上學所需時間在
的學生可申請在學校住宿，請估計該校800名新生中有多少名學生可以申請住宿．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
,則下列命題中正確命題的個數是（ ）
①函數
在
上為周期函數
②函數在區間
,
上單調遞增
③函數在
（
）取到最大值
,且無最小值
④若方程
（
）有且僅有兩個不同的實根,則
A.
個B.
個C.
個D.
個
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】曲線
是平面內到直線
和直線
的距離之積等于常數
（
）的點的軌跡，下列四個結論：
①曲線過點
；
②曲線關于點成中心對稱；
③若點
在曲線上，點
、
分別在直線
、
上，則
不小于
；
④設
為曲線上任意一點，則點關于直線，點及直線對稱的點分別為
、
、
，則四邊形
的面積為定值
；
其中，所有正確結論的序號是________
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝xsinx的圖象是下列兩個圖象中的一個，如圖，請你選擇后再根據圖象作出下面的判斷：若x1，x2∈（
），且f（x1）＜f（x2），則（ ）
A.x1＞x2B.x1+x2＞0C.x1＜x2D.x12＜x22
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知正三棱錐P-ABC的側面是直角三角形，PA=6，頂點P在平面ABC內的正投影為點D，D在平面PAB內的正投影為點E，連結PE并延長交AB于點G.
（Ⅰ）證明：G是AB的中點；
（Ⅱ）在圖中作出點E在平面PAC內的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積．
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