Question

已知雙曲線－＝1的離心率e＞1＋，左、右焦點分別為F₁，F₂，左準線為l，能否在雙曲線的左支上找到一點P，使得|PF₁|是P到l的距離d與|PF₂|的等比中項？

Answer 1

答案：
解析：

思路　　本題為探索性命題，一般可先假設點P存在，再利用已知條件探求，若得出矛盾，則說明P點不存在，否則，便得到P的位置． 　　解答　　設在左半支上存在P點，使|PF1|2＝|PF2|·d，由雙曲線的第二種定義知＝＝e， 　　即|PF2|＝|PF1|·e，　　　　�、� 　　再由雙曲線的第一定義，得 　　|PF2|－|PF1|＝2a，　　　　　　② 　　由式①、②，解得|PF1|＝，|PF2|＝． 　　因為△PF1F2中有|PF1|＋|PF2|≥2c， 　　∴＋≥2c．　　　�、� 　　利用e＝，從式③得e2－2e－1≤0， 　　解得1－≤e≤1＋， 　　∵e＞1， 　　∴1＜e≤1＋與已知e＞1＋矛盾． 　　∴符合條件的點P不存在． 　　評析　　1＜e≤1＋是雙曲線－＝1，左支上存在P點，使|PF1|2＝|PF2|·d成立的充要條件，例如雙曲線－＝1的離心率e＝＜1＋，則這樣的P點一定存在．