Question

某創業投資公司計劃在2010年向某企業投入800萬元用于開發新產品，并在今后若干年內，每年的投入資金都比上一年減少20%．估計2010年可獲得投資回報收入400萬元，由于該項投資前景廣闊，預計今后的投資回報收入每年都會比上一年增加25%．
（Ⅰ）設第n年（2010年為第一年）的投入資金為a_n萬元，投資回報收入為b_n萬元，求a_n和b_n的表達式；
（Ⅱ）從哪一年開始，該投資公司前幾年的投資回報總收入將超過總投入？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題意可知年投入的資金依次成首項為800萬元，公比為的等比數列，每年的投資回報收入依次成首項為400萬元，公比為的等比數列．進而利用等比數列的通項公式求得a_n和b_n．
（Ⅱ）設經過n年的總投入為S_n萬元，總收入為T_n萬元，進而根據等比數列的求和公式分別求得S_n和T_n．進而根據T_n-S_n＞0進而可得求得n的范圍．
解答：解：（Ⅰ）據題意，每年投入的資金依次成首項為800萬元，公比為的等比數列，每年的投資回報收入依次成首項為400萬元，公比為的等比數列．
所以，．
（Ⅱ）設經過n年的總投入為S_n萬元，總收入為T_n萬元，則，．
由T_n-S_n＞0，得＞0，即．
設，代入上式整理得，5x²-7x+2＞0，解得或x＞1（舍去）．
當n=4時，=；當n=5時，=．
因為是減函數，所以當n≥5時，有成立，從而T_n-S_n＞0成立．
答：從2014年開始，該投資公司前幾年的投資回報總收入將超過總投入．
點評：本題主要考查了數列的實際應用，涉及了等比數列的通項公式，求和公式．綜合性很強．