Question

【題目】已知函數，實數.

（1）討論函數在區間上的單調性；

（2）若存在，使得關于x的不等式成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）采用分類討論的方法，與，根據導數判斷原函數的單調性，可得結果.

（2）化簡式子，并構造函數，計算，然后再次構造函數，利用導數判斷的單調情況，可得結果.

（1）由題知的定義域為，

.

∵，，∴由可得.

（i）當時，

，當時，單遞減；

（ii）當時，，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增.

綜上所述，時，在區間上單調遞減；

當時，在區間上單調遞減，

在區間上單調遞增.

（2）由題意：不等式在成立

即在時有解.

設，，只需.

則，因為，

所以在上，，

在上，.

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

因此.

不等式在成立，

則恒成立.

又，所以恒成立.

令，則.

在上，，單調遞增；

在上，，單調遞減.

所以.

因此解可得且，

即且.

所以實數a的取值范圍是.