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已知橢圓的離心率為，且經過點． 過它的兩個焦點，分別作直線與，交橢圓于A、B兩點，交橢圓于C、D兩點，且．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）求四邊形的面積的取值范圍．

 

【答案】

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）由離心率為可知，所以，再將點P的坐標代入橢圓方程得，故所求橢圓方程為 ；

（2）與垂直，可分為兩種情況討論：一是當與中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0；二是若與的斜率都存在；

當與中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0，此時四邊形的面積為；

若與的斜率都存在，設的斜率為，則的斜率為．直線的方程為，

設，，聯立，消去整理得，

（1），，

，

（2），注意到方程（1）的結構特征，或圖形的對稱性，可以用代替（2）中的，

得 ，

，利用換元法，再利用對構函數可以求出最值，令，， ，綜上可知，四邊形面積的.

試題解析：（1）由，所以， 2分

將點P的坐標代入橢圓方程得， 4分

故所求橢圓方程為 5分

（2）當與中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0，

此時四邊形的面積為， 7分

若與的斜率都存在，設的斜率為，則的斜率為．直線的方程為，

設，，聯立，

消去整理得， （1）

，， 8分

，（2） 9分

注意到方程（1）的結構特征，或圖形的對稱性，可以用代替（2）中的，

得 ， 10分

，令，

， ，綜上可知，四邊形面積的. 13分

考點：1.橢圓的標準方程；2.直線與橢圓的位置關系.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為e，兩焦點分別為F1、F2，拋物線C以F1為頂點、F2為焦點，點P為拋物線和橢圓的一個交點，若e|PF2|=|PF1|，則e的值為（　　）
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不對

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為
1
2
，焦點是（-3，0），（3，0），則橢圓方程為（　　）
A、
x2
36
+
y2
27
=1
B、
x2
36
-
y2
27
=1
C、
x2
27
+
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
36
=1

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在由圓O：x2+y2=1和橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）構成的“眼形”結構中，已知橢圓的離心率為
6
3
，直線l與圓O相切于點M，與橢圓C相交于兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得
OA
•
OB
=
1
2
OM
2，若存在，求此時直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知橢圓的離心率為
2
2
，準線方程為x=±8，求這個橢圓的標準方程；
（2）假設你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30-7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00-8：00之間，請你求出父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，已知橢圓的離心率為e，右準線l的方程為x=m．
（1）若e=
1
2
，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過原點，求e．

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