Question

已知方向向量為的直線過橢圓（）的焦點以及點，橢圓的中心關于直線的對稱點在橢圓的右準線上。

（1）求橢圓的方程

（2）過點的直線交橢圓于點，且滿足

（為坐標原點），求直線的方程

Answer 1

解：（1）已知直線方向向量為，所以，直線的斜率為，又直線過點，所以直線的方程為：

即

設點關于直線的對稱點為，則直線的方程為：

解方程組：

  得

所以，點的坐標為，又點在橢圓的右準線上，

所以

又直線過橢圓的焦點，可知橢圓的該焦點為

所以    

故，橢圓的方程為：                ……………… 6分

（2）當直線的斜率存在時，設直線直線的方程為：

聯立方程組  消得：

設，，則由韋達定理有：

                                                ……………… 10分

由條件得：

，且

所以

即         ……………… 12分

而

       

       

點到直線的距離為

所以有，解得，

當直線的斜率不存在時，直線直線的方程為：

此時，，

也有

故直線： 或 為所求          ……………… 14分