Question

某單位擬建一個扇環面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環面是由以點為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點的兩條直線段圍成．按設計要求扇環面的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設小圓弧所在圓的半徑為米，圓心角為（弧度）．

（1）求關于的函數關系式；
（2）已知在花壇的邊緣(實線部分)進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米．設花壇的面積與裝飾總費用的比為，求關于的函數關系式，并求出為何值時，取得最大值？

Answer 1

（1）（2），

試題分析：（1） 解決應用題問題首先要解決閱讀問題，具體說就是要會用數學式子正確表示數量關系，本題解題思路清晰，就是根據扇環面的周長列函數關系式，因為扇環面的周長為兩段弧長加兩段直線，利用弧長公式，得所以 ，（2） 本題解題思路清晰，就是根據花壇的面積與裝飾總費用的比列函數關系式，再由導數或基本不等式求最值. 裝飾總費用為直線部分的裝飾費用與弧線部分的裝飾費用之和，而花壇的面積為大扇形面積與小扇形面積之差，求最值時要注意定義域范圍的限制.
試題解析：（1）設扇環的圓心角為q，則，所以，  4分
（2）花壇的面積為． 7分
裝飾總費用為，           9分
所以花壇的面積與裝飾總費用的，        12分
令，則，當且僅當t=18時取等號，此時．
答：當時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大．           15分