Question

（本題滿分14分）

已知直線，圓.

（Ⅰ）證明：對任意，直線與圓恒有兩個公共點.

（Ⅱ）過圓心作于點，當變化時，求點的軌跡的方程.

（Ⅲ）直線與點的軌跡交于點，與圓交于點，是否存在的值，使得？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）軌跡的方程為.

（Ⅲ）存在，使得且.

【解析】本試題主要是考查了直線與圓的位置關系的綜合運用。

解：（Ⅰ）方法1：圓心的坐標為，半徑為3…………………1分

圓心到直線距離………………2分

∴

∴即

∴直線與圓恒有兩個公共點……………………4分

方法2：聯立方程組…………………………1分

消去，得………………2分

∴直線與圓恒有兩個公共點………………………4分

方法3：將圓化成標準方程為.…1分

由可得：.

解得，所以直線過定點.……………3分

因為在圓C內，所以直線與圓恒有兩個公共點.………………4分

（Ⅱ）設的中點為，由于°，

∴

∴點的軌跡為以為直徑的圓.………………7分

中點的坐標為，.

∴所以軌跡的方程為.………………9分

（Ⅲ）假設存在的值，使得.

如圖所示，

有，……10分

又，，

其中為C到直線的距離.……………12分

所以，化簡得.解得.

所以存在，使得且.……………………14分