Question

【題目】已知函數 ．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）用單調性的定義證明f（x）為R上的增函數；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：x∈R，∵ ，

∴f（x）是奇函數

（2）證明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，則

= = ，

∵x1＜x2，∴ ，

∵ ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上是增函數

（3）解：∵f（x）為奇函數且在R上為增函數，

∴不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＞0化為f（mt2+1）＞﹣f（1﹣mt）=f（mt﹣1），

∴mt2+1＞mt﹣1對任意的t∈R恒成立，

即mt2﹣mt+2＞0對任意的t∈R恒成立．

①m=0時，不等式化為2＞0恒成立，符合題意；

②m≠0時，有 即0＜m＜8．

綜上，m的取值范圍為0≤m＜8

【解析】（1）根據f（-x）=-f（x）是否成立進行判斷；（2）任取x12∈R，且x1＜x2，作差法比較f（x1）與f（x2）的大��；（3）根據f（-x）=-f（x）可知f（1-mt）=-f（mt-1），將原式轉化為mt2﹣mt+2＞0對任意的t∈R恒成立.
【考點精析】掌握函數單調性的判斷方法和函數的奇偶性是解答本題的根本，需要知道單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．