Question

【題目】給出下列命題：
（1）設f（x）與g（x）是定義在R上的兩個函數，若|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，且f（x）為奇函數，則g（x）也是奇函數；
（2）若x1 ， x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，且函數f（x）在R上遞增，則f（x）+g（x）在R上也遞增；
（3）已知a＞0，a≠1，函數f（x）= ，若函數f（x）在[0，2]上的最大值比最小值多 ，則實數a的取值集合為 ；
（4）存在不同的實數k，使得關于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的個數為2個、4個、5個、8個．則所有正確命題的序號為 ．

Answer 1

【答案】（1）（2）、（4）
【解析】解：對于（1），∵|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，
令x2=﹣x1 ， 則|f（x1）+f（﹣x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒成立，
∵f（x）是奇函數，
∴|f（x1）﹣f（x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒成立，
∴g（x1）+g（﹣x1）=0，
∴g（﹣x1）=﹣g（x1），
∴g（x）是奇函數，（1）正確；
對于（2），設x1＜x2 ，
∵f（x）是R上的增函數，
∴f（x1）＜f（x2），
∵|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，
∴f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）＜f（x2）﹣f（x1），
∴h（x1）﹣h（x2）=f（x1）﹣f（x2）+g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）+f（x2）﹣f（x1），
∴h（x1）﹣h（x2）＜0，
∴函數h（x）=f（x）+g（x）在R上是增函數，（2）正確；
對于（3），①當a＞1時，函數f（x）= 在[0，2]上的最大值為f（1）=a，最小值為f（0）=1或f（2）=a﹣2；
當a﹣1= 時，解得a= ，此時f（2）= ＞1，滿足題意，
當a﹣（a﹣2）=0時，2=0不滿足題意，∴a= ；
②當0＜a＜1時，在[0，1]上，f（x）=ax是減函數；在（1，2]上，f（x）=﹣x+a是減函數，
∵f（0）=a0=1＞﹣1+a，∴函數的最大值為f（0）=1；
而f（2）=﹣2+a＜﹣1+a=f（1），所以函數的最小值為f（2）=﹣2+a，
因此，﹣2+a+ =1，解得a= ∈（0，1）符合題意；
綜上，實數a的取值集合為{ ， }，（3）錯誤；
對于（4），關于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0可化為（x2﹣1）2﹣（x2﹣1）+k=0（x≥1或x≤﹣1）（Ⅰ）
或（x2﹣1）2+（x2﹣1）+k=0（﹣1＜x＜1）（Ⅱ）
①當k= 時，方程（Ⅰ）有兩個不同的實根± ，方程（Ⅱ）有兩個不同的實根± ，
即原方程恰有4個不同的實根；
②當k=0時，原方程恰有5個不同的實根；

③當k= 時，方程（Ⅰ）的解為± ，± ，方程（Ⅱ）的解為± ，± ，
即原方程恰有8個不同的實根；
④當k=﹣2時，方程化為（|x2﹣1|+1）（|x2﹣1|﹣2）=0，
解得|x2﹣1|=2或|x2﹣1|=﹣1（不合題意，舍去）；
所以x2﹣1=±2，
解得x2﹣1=2，
即x=± ，方程有2個實數根；
所以存在不同的實數k，使得關于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的個數為2個、4個、5個、8個，
命題（4）正確；
綜上，正確的命題是（1）、（2）、（4）．
所以答案是：（1）（2）、（4）．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較，以及對函數的奇偶性的理解，了解偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．