Question

【題目】已知方程表示一個圓．

（1）求實數的取值范圍；

（2）求該圓半徑的取值范圍；

（3）求該圓心的縱坐標的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）利用方程表示圓的條件，建立不等式，即可求出實數的取值范圍； （2）利用圓的半徑，利用配方法結合（1）中實數的取值范圍，即可求出該圓半徑的取值范圍；（3）根據，確定圓的圓心坐標，再消去參數，根據（1）中實數的取值范圍，可求得圓心的縱坐標的最小值.

試題解析：（1）方程表示圓的等價條件是，即有，

解得．

（2）半徑，解得．

（3）設圓心坐標為，則消去，得，

由于，所以，

故圓心的縱坐標， ，所以最小值是．

【方法點晴】本題主要考查圓的方程與性質以及解析幾何求最值問題，屬于難題. 解決解析幾何中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將解析幾何中最值問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法，本題（3）就是用的這種思路，利用均值配方法求圓心的縱坐標的最小值.