Question

對于函數f（x）=sinx+cosx，給出下列四個命題：
①存在α∈(0，

π

2

)，使f(α)=

4

3

； 
②存在α∈(0，

π

2

)，使f（x+α）=f（x+3α）恒成立； 
③存在φ∈R，使函數f（x+?）的圖象關于y軸對稱；
④函數f（x）的圖象關于點(

3π

4

，0)對稱； 
⑤若x∈[0，

π

2

]，則f(x)∈[1，

2

]．
其中正確命題的序號是

①③④⑤

．

Answer 1

分析：利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式，化簡函數y=sinx+cosx為

2

sin（x+

π

4

），確定函數的值域，判斷①的真假； 找出特殊值判斷②；根據函數的對稱軸判斷③的真假；將 （

3

4

π，0）代入函數解析式成立，說明④正確．⑤若x∈[0，

π

2

]，則有 （x+

π

4

）∈[

π

4

，

3π

4

]，可得 f(x)∈[1，

2

]，故⑤正確．

解答：解：函數y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），①α∈（0，

π

2

）時 y∈（1，

2

]，因為

4

3

∈（1，

2

]，所以為真命題；
②f（x+α）=f（x+3α）說明2α是函數的周期，函數f（x）的周期為2π，故α=π，顯然為假命題；
③存在θ∈R使函數f（x+θ）的圖象關于y軸對稱，
函數f（x）是周期函數，并且有對稱軸，適當平移即可滿足題意，為真命題；
④函數f（x）的圖象關于點 （

3

4

π，0）對稱，當x=

3π

4

時，f（

3π

4

）=0，滿足題意，為真命題，
⑤若x∈[0，

π

2

]，則有 （x+

π

4

）∈[

π

4

，

3π

4

]，∴f(x)∈[1，

2

]，故⑤為真命題，
故答案為 ①③④⑤．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數，正弦函數的定義域及值域，正弦函數的對稱性，以及三角函數的周期性及其求法，要求學生掌握正弦函數的圖象及性質，能夠充分利用已知條件，靈活利用三角函數的恒等變形把函數解析式化為一個角的正弦函數是解題的關鍵，鍛煉了學生分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．