Question

以O為原點，所在直線為x軸，建立直角坐標系．設，點F的坐標為（t，0），t∈[3，+∞）．點G的坐標為（x，y）．
（1）求x關于t的函數x=f（t）的表達式，并判斷函數f（x）的單調性．
（2）設△OFG的面積，若O以為中心，F，為焦點的橢圓經過點G，求當取最小值時橢圓的方程．
（3）在（2）的條件下，若點P的坐標為，C，D是橢圓上的兩點，，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由F的坐標（t，0），．點G的坐標（x，y）可求出，坐標，再代入，即可求x關于t的函數x=f（t）的表達式，再利用對勾函數的單調性判斷函數f（x）的單調性．
（2）先用含點G的坐標式子表示△OFG的面積，再根據△OFG的面積，求出y0，再判斷何時取最小值，
可得此時的橢圓方程．
（3）設C，D的坐標分別為（x，y）、（m，n），求，坐標，再根據用含λ的式子表示n，根據n的范圍求λ的范圍即可．
解答：解：（1）由題意得：=（t，0），=（x，y），═（x-t，y），
則：，解得：
所以f（t）在t∈[3，+∞）上單調遞增．
（2）由S=||•|y|=|y|•t=得y=±，
點G的坐標為（t+，），=
當t=3時，||取得最小值，此時點F，G的坐標為（3，0）、（，±）
由題意設橢圓的方程為，又點G在橢圓上，
解得b²=9或b²=-（舍）故所求的橢圓方程為
（3）設C，D的坐標分別為（x，y）、（m，n）
則=（x，y-），=（m，n-）由得（x，y-）=λ=（m，n-），
∴x=λm，y=λn-λ+
又點C，D在橢圓上消去m得n=   
|n|≤3，∴||≤3解得
又∵λ≠1
∴實數λ的范圍是[，1）∪（1，5]
點評：本題考查了圓錐曲線與函數之間的關系，做題時要認真分析，找到之間的聯系．