Question

【題目】如圖，某景區內有兩條道路、，現計劃在上選擇一點，新建道路，并把所在的區域改造成綠化區域.已知，，.若綠化區域改造成本為萬元，新建道路成本為萬元.

（1）①設，寫出該計劃所需總費用的表達式，并寫出的范圍；

②設，寫出該計劃所需總費用的表達式，并寫出的范圍；

（2）從上面兩個函數關系中任選一個，求點在何處時改造計劃的總費用最小.

Answer 1

【答案】（1）①，；②；（2）.

【解析】

（1）①利用正弦定理求出、關于的表達式，根據題意可得出的表達式，并可求得的范圍；

②設，利用余弦定理求出，根據題意可得出的表達式，并可求得的取值范圍；

（2）利用導數求得函數的最小值，及其對應的的值，進而得解.

（1）①設，由正弦定理得，

，，

.

當點與點重合的時候，，所以；

②設，，

；

（2），則 ，

令，得，且，所以，得.

當時，，此時，函數單調遞減；

當時，，此時，函數單調遞增.

所以當，即時，改造計劃的總費用最小.