Question

求證：過球O內一定點P的諸弦，被點P分成的兩線段之積是一個定值．

Answer 1

答案：
解析：

證明　設球O的半徑為R，球心O到定點P的距離為d．設過P的任意一弦為AB，設過P點的直徑為MN，當AB是直徑MN時 　　MP·NP=(R+d)(R-d)=R2-d2 　　當AB不是直徑MN時，如圖所示． 　　MN=2R，OP=d，在MN、AB所在的大圓中，由相交弦定理知 　　AP·PB=MP·NP 　　　　　=(R+d)(R-d)=R2-d2 　　∴　AP·PB為定值． 　　命題得證