Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AP=AB=AC=a， ，PA⊥底面ABCD．
（1）求證：平面PCD⊥平面PAC；
（2）在棱PC上是否存在一點E，使得二面角B﹣AE﹣D的平面角的余弦值為 ？若存在，求出 的值？若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△ACD中，AC=a，CD=a，AD= a，

由勾股定理得：CD⊥AC

∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，

AC面PAC，PA面PAC，PA∩AC=A

∴CD⊥面PAC

又∵CD面PCD

∴平面PCD⊥平面PAC

（2）解：（由（1）知：AB⊥AC，又PA⊥底面ABCD

∴以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示坐標系

則A（0，0，0），B（a，0，0），C（0，a，0），

D（﹣a，a，0），P（0，0，a）

假設點E存在，且λ= ，則 =λ （xE，yE﹣a，zE）=λ（0，﹣a，a）

∴xE=0，yE=（1﹣λ）a，zE=λa

=（a，0，0） =（0，（1﹣λ）a，λa）， =（﹣a，a，0）

設平面BAE的法向量為 =（x1，y1，z1），平面DAE的法向量為 =（x2，y2，z2），

則 ，取y1=λ，得 ，

，取x2=λ，得 =（λ，λ，λ﹣1）

cos＜ ＞= = = ，

由題意：|cos＜ ＞|= = ，

整理得：3（2λ2﹣2λ+1）=2（3λ2﹣2λ+1），解得λ= ，

∴棱PC上存在一點E，使得二面角B﹣AE﹣D的平面角的余弦值為﹣ ，且此時λ= ．

【解析】（1）由勾股定理得：CD⊥AC，由線面垂直得PA⊥CD，從而CD⊥面PAC，由此能證明平面PCD⊥平面PAC．（2）以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結果．
【考點精析】利用平面與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．