Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點，先證明四邊形是平行四邊形，可得，只需證平面即可，而由已知易證平面，從而可證得，而由等腰三角形的性質可證得，由此可證得平面；

（2）先在中利用勾股定理求出的長，再在中，求出，從而可得的長，而為的中點，所以，在中，再利用勾股定理求出，而由（1）可知平面，所以，代值可得答案.

（1）證明：如下圖，取的中點，連接，.

又為的中點，則是的中位線.

所以且.

又且，

所以且.

所以四邊形是平行四邊形.

所以.

因為，為的中點，

所以.

因為，，

所以.

因為平面，所以.

又，所以平面.

所以.

又，所以平面.

又，所以平面.

（2）因為，

所以由勾股定理得，，.

所以.

所以.

由（1）得，平面，所以.

所以.

由（1）得，平面，

所以.