Question

（2013•閘北區一模）設定義域為R的奇函數y=f（x）在區間（-∞，0）上是減函數．
（1）求證：函數y=f（x）在區間（0，+∞）上是單調減函數；
（2）試構造一個滿足上述題意且在（-∞，+∞）內不是單調遞減的函數．（不必證明）

Answer 1

分析：（1）由單調性的定義可x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則0＞-x₁＞-x₂，則可得f（-x₁）＜f（-x₂），由奇函數的性質可得-f（x₁）＜-f（x₂），進而可得f（x₁）＞f（x₂），即得單調性；
（2）舉出例子即可，舉分段函數．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則0＞-x₁＞-x₂（2分）
由y=f（x）在區間（-∞，0）上是單調遞減函數，有f（-x₁）＜f（-x₂），（3分）
又由y=f（x）是奇函數，有-f（x₁）＜-f（x₂），即f（x₁）＞f（x₂）．         （3分）
所以，函數y=f（x）在區間（0，+∞）上是單調遞減函數．                   （1分）
（2）如函數f(x)=

-x+2，x＞0 0，x=0 -x-2，x＜0.

滿足在（-∞，0）和（0，+∞）上是單調減函數，
但在（-∞，+∞）內不是單調遞減的函數       （6分）

點評：本題考查函數單調性的判斷與證明，屬基礎題．