Question

【題目】設A是單位圓x2+y2=1上的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求焦點坐標；
（Ⅱ）過原點且斜率為k的直線交曲線C于P、Q兩點，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點N，直線QN交曲線C于另一點H，是否存在m，使得對任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）如圖1，設M（x，y），A（x0 ， y0）
∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x0 ， |y|=m|y0|
∴x0=x，|y0|= |y|①
∵點A在圓上運動，∴ ②
①代入②即得所求曲線C的方程為
∵m∈（0，1）∪（1，+∞），
∴0＜m＜1時，曲線C是焦點在x軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為（ ），
m＞1時，曲線C是焦點在y軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為（ ），
（Ⅱ）如圖2、3，x1∈（0，1），設P（x1 ， y1），H（x2 ， y2），則Q（﹣x1 ， ﹣y1），N（0，y1），
∵P，H兩點在橢圓C上，∴
①﹣②可得 ③
∵Q，N，H三點共線，∴kQN=kQH ， ∴
∴kPQkPH=
∵PQ⊥PH，∴kPQkPH=﹣1
∴
∵m＞0，∴
故存在 ，使得在其對應的橢圓 上，對任意k＞0，都有PQ⊥PH

【解析】（I）設M（x，y），A（x0 ， y0），根據丨DM丨=m丨DA丨，確定坐標之間的關系x0=x，|y0|= |y|，利用點A在圓上運動即得所求曲線C的方程；根據m∈（0，1）∪（1，+∞），分類討論，可確定焦點坐標；（Ⅱ）x1∈（0，1），設P（x1 ， y1），H（x2 ， y2），則Q（﹣x1 ， ﹣y1），N（0，y1），利用P，H兩點在橢圓C上，可得 ，從而可得可得 ．利用Q，N，H三點共線，及PQ⊥PH，即可求得結論．