Question

已知函數（e為自然對數的底數）

（1）求函數的單調區間；

（2）設函數，存在實數，使得成立，求實數的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

（1）在上單調遞增，在上單調遞減；（2）

【解析】

試題分析：（1）求導得，根據導數的符號即可求出的單調區間（2）如果存在，使得成立，那么 由題設得，求導得 由于含有參數，故分情況討論，分別求出的最大值和最小值如何分類呢？由得，又由于 故以0、1為界分類 當時， 在上單調遞減；當時， 在上單調遞增以上兩種情況都很容易求得的范圍當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以最大值為中的較大者，最小值為，，一般情況下再分類是比較這兩者的大小，但，由（1）可知，而，顯然，所以無解

試題解析：（1）∵函數的定義域為R， 2分

∴當時，，當時，

∴在上單調遞增，在上單調遞減 4分

（2）假設存在，使得成立，則。

∵

∴ 6分

當時，，在上單調遞減，∴，即

8分

②當時，，在上單調遞增，∴，即

10分

③當時，

在，，在上單調遞減，

在，，在上單調遞增，

所以，即――――――――

由（1）知，在上單調遞減，

故，而，所以不等式無解

綜上所述，存在，使得命題成立 12分

考點：1、導數的應用；2、不等關系