Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=

1

2

AA1，點E在棱CC₁上．
（1）若B₁E⊥BC₁，求證：AC₁⊥平面B₁D₁E．
（2）設

CE

EC1

=λ，問是否存在實數λ，使得平面AD₁E⊥平面B₁D₁E，若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由圖形及題設條件知可證A₁C₁⊥B₁D₁，B₁E⊥AC₁，從而得出AC₁⊥平面B₁D₁E．
（2）建立空間坐標系，求出兩個平面的法向量，若兩平面垂直則法向量內積為0，利用此方程求參數，若能求出則存在，否則不存在，解答本題時注意答題格式．

解答：（1）證明：連接A₁C₁，因為棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，所以A₁C₁⊥B₁D₁，
又A₁C₁是AC₁在底面A₁B₁C₁D₁內的射影，因此B₁D₁⊥AC₁，（2分）
同理，BC₁是AC₁在平面BCC₁B₁內的射影，
因為B₁E⊥BC₁，所以B₁E⊥AC₁，
又B₁D₁∩B₁E=B₁，所以AC₁⊥平面B₁D₁E（3分）

（2）解：存在實數λ，使得平面AD₁E⊥平面B₁D₁E，證明如下：
因為

CE

EC1

=λ，所以EC1=

CC1

1+λ

，因為AB=BC=

1

2

AA1，
不妨設AB=1，則AA₁=2，以D₁為坐標原點，分別以D₁A₁，D₁C₁，D₁D為x，y，z軸建立坐標系，
則

D1B1

=(1，1，0)，

D1A

=(1，0，2)，

D1E

=(0，1，

2

1+λ

)，（2分）
設平面AD₁E的一個法向量為n₁，由

n1• D1A =0 n1• D1E =0

得一個n1=(2，

2

1+λ

，-1)，
同理得平面D₁B₁E的一個法向量n2=(1，-1，

1+λ

2

)，（3分）
令n₁•n₂=0，即2×1+

2

1+λ

×(-1)+(-1)×

1+λ

2

=0，
解得λ=1，
所以存在實數λ=1，使得平面AD₁E⊥平面B₁D₁E（2分）

點評：考查線面垂直的證明以及利用面面垂直建立相應的方程求參數，其中由位置關系建立方程求參數的題型類似于代數的選定系數法，先引入參數，建立相應等量關系，再解方程求出根，以確定相應的位置關系是否存在．