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【題目】定義在上的函數對任意的，滿足條件： ，且當時， .

（1）求的值；

（2）證明：函數是上的單調增函數；

（3）解關于的不等式.

【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）見解析；（Ⅲ） .

【解析】試題分析：（1）由題意y=f（x）對任意的x，y∈R，關系式成立，采用賦值法，可得f（0）的值；
（2）利用定義證明其單調性．
（3）利用單調性及f（0）的值，求解不等式即可．

試題解析：

（Ⅰ）由題意：定義在R上的函數對任意的，

滿足條件： ,

令，由，解得.

（Ⅱ）證明：設， ，則，

由題意知， ，

所以

，

即，

所以函數是R上的單調增函數．

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）（Ⅱ）可知函數是R上的單調增函數，且，

不等式 ，即 ，

故，解得.

所以不等式的解集為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，,為的中點.

（1）若，求證：；

（2）若，且，點在線段上，試確定點的位置，使二面角大小為，并求出的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩企業生產同一種型號零件，按規定該型號零件的質量指標值落在內為優質品.從兩個企業生產的零件中各隨機抽出了500件，測量這些零件的質量指標值，得結果如下表：

甲企業：

乙企業：

（1）已知甲企業的500件零件質量指標值的樣本方差，該企業生產的零件質量指標值服從正態分布，其中近似為質量指標值的樣本平均數（注：求時，同一組數據用該區間的中點值作代表），近似為樣本方差，試根據該企業的抽樣數據，估計所生產的零件中，質量指標值不低于71.92的產品的概率.（精確到0.001）

（2）由以上統計數據完成下面列聯表，并問能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為“兩個分廠生產的零件的質量有差異”.

附注：

參考數據： ，

參考公式： ， ，

.

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】近幾年來，我國許多地區經常出現干旱現象，為抗旱經常要進行人工降雨，現由天氣預報得知，某地在未來5天的指定時間的降雨概率是：前3天均為，后2天均為，5天內任何一天的該指定時間沒有降雨，則在當天實行人工降雨，否則，當天不實施人工降雨.

(1)求至少有1天需要人工降雨的概率；

(2)求不需要人工降雨的天數的分布列和期望.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了弘揚民族文化，某校舉行了“我愛國學，傳誦經典”考試，并從中隨機抽取了100名考生的成績（得分均為整數,滿足100分）進行統計制表，其中成績不低于80分的考生被評為優秀生，請根據頻率分布表中所提供的數據，用頻率估計概率，回答下列問題.

分組

頻數

頻率

5

0.05

0.20

35

25

0.25

15

0.15

合計

100

1.00

（1）求的值及隨機抽取一考生恰為優秀生的概率；

（2）按頻率分布表中的成績分組，采用分層抽樣抽取20人參加學校的“我愛國學”宣傳活動，求其中優秀生的人數；

（3）在第（2）問抽取的優秀生中指派2名學生擔任負責人，求至少一人的成績在的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】一個盒子內裝有8張卡片，每張卡片上面寫著1個數字，這8個數字各不相同，且奇數有3個，偶數有5個．每張卡片被取出的概率相等．

（Ⅰ）如果從盒子中一次隨機取出2張卡片，并且將取出的2張卡片上的數字相加得到一個新數，求所得新數是偶數的概率；

（Ⅱ）現從盒子中一次隨機取出1張卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上寫著的數是偶數則停止取出卡片，否則繼續取出卡片．設取出了次才停止取出卡片，求的分布列和數學期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在等腰直角三角形中， ， 為的中點，點在上，且，現沿將折起到的位置，使，點在上，且.

(1)求證： 平面；

(2)求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】冬季晝夜溫差大小與某反季節大豆新品種發芽多少之間有關系，某農科所對此關系進行了調查分析，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天100顆種子中的發芽數，得到如下資料：

日期

12月1日

12月2日

12月3日

12月4日

12月5日

溫差

10

11

13

12

8

發芽數

23

25

30

26

16

該農科所確定的研究方案是：先從這五組數據中選取2組，用剩下的3組數據求線性回歸方程，再對被選取的2組數據進行檢驗.

（1）求選取的2組數據恰好是不相鄰2天數據的概率；

（2）若選取的是12月1日與12月5日的兩組數據，請根據12月2日至12月4日的數據，求出關于的線性回歸方程；

（3）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？

（參考公式： ， ）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】現有4個人參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇，為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數大于2的人去參加乙游戲．

（1） 求出4個人中恰有2個人去 參加甲游戲的概率；

（2）求這4個人中去參加甲游戲人數大于去參加乙游戲的人數的概率；

（3）用分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數，記,求隨機變量的分布列與數學期望．

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