Question

已知為正常數．（e=2.71828…）；
（理科做）（1）若，求函數f（x）在區間[1，e]上的最大值與最小值
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且對任意x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂都有，求a的取值范圍．
（文科做）（1）當a=2時描繪ϕ（x）的簡圖
（2）若，求函數f（x）在區間[1，e]上的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】分析：（理科）（1）本小題需要先求出函數的導函數，然后得出單調區間，利用單調性來求出函數的最大和最小值，屬于基本題目；
（2）本題函數g（x）=|lnx|+φ（x）含有絕對值號，考慮到去掉絕對值較為繁瑣，也不可行，因此采用整體上處理，即構造一個新的函數來結合單調性求解，由已知，可以變形為，因此構造函數ω（x）=g（x）+x，
即，（a＞0，x∈（0，2]），然后求解．
（文科）（1）本題的函數圖象簡圖的作法可以利用圖象變換來做，考查函數與函數的圖象之間的關系來作出；
（2）由已知求得函數的導函數，利用單調性求出函數的最大（�。┲祦矸椒ㄍ�（理科）（1）類似..
解答：解：（理科）（1）∵
∴（2分）
故當時，f'（x）＜0，即f（x）單調遞減，從而x∈[1，2）時，f（x）單調遞減，
當時，f'（x）≥0，即f（x）單調遞增，從而x∈[2，e]時，f（x）單調遞增，（4分）
故，故
（2）由
所以可設…（8分）
故由題設可知ω（x）在x∈（0，2]上為減函數，
∵…（10分）
而 由可得
而上是增函數，
∴．
顯然當
a=時，也成立，
所以a的取值范圍是[，+∞）…（14分）

（文科）（1）由已知，其圖象是由反比例函數圖象的圖象向左平行移動1個單位長度所得到，如圖：

（2）由已知f（x）=，于是有=，顯然f′（x）＞0在[1，e]上恒成立，所以函數f（x）在區間[1，e]上為增函數，
所以，
點評：本題考查了函數的導數及其應用，利用導數求最大（�。┲担�利用導數以及結合給定的函數的單調區間求解參數的范圍，另外考查了函數的圖象的畫法，綜合考查了數形結合思想，分類思想，函數與方程的思想，構造函數解決問題的思想．