Question

（本題滿分14分）

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知

,,現將四邊形ABCD沿BD折起，

使平面ABD平面BDC（如圖乙），設點E、F分別為棱

AC、AD的中點.

（1）求證：DC平面ABC；

（2）求BF與平面ABC所成角的正弦；

（3）求二面角B－EF－A的余弦.

	圖甲在
		圖乙

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）略

（2）

（3）二面角B－EF－A的余弦為

【解析】

（1）證明：在圖甲中∵且 ∴ ,

即------------------------------------------------2分

在圖乙中，∵平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDC＝BD

∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD.------------------- -----------4分

又，∴DC⊥BC,且

∴DC平面ABC. -------------------------------------5分

（2）解法1：∵E、F分別為AC、AD的中點

∴EF//CD，又由（1）知，DC平面ABC，

∴EF⊥平面ABC，垂足為點E

∴∠FBE是BF與平面ABC所成的角------------------------------7分

在圖甲中，∵,  ∴,

設則,,-9分

∴在Rt△FEB中，

即BF與平面ABC所成角的正弦值為.----------------------10分

解法2：如圖，以B為坐標原點，BD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如下圖示，

  設，則，----------------6分

可得,,

，，

∴,-------------8分

設BF與平面ABC所成的角為

由（1）知DC平面ABC

∴

∴------------------------------------------10分

（3）由（2）知 FE⊥平面ABC，

又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，

∴∠AEB為二面角B－EF－A的平面角--------------------------------12分

在△AEB中，

∴

即所求二面角B－EF－A的余弦為.----------------14分