Question

【題目】如圖，在正三棱柱中，是的中點，是線段上的動點，且.

（1）若，求證：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）若直線與平面所成角的大小為，求的最大值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）取中點，通過線線垂直證明平面，從而得到

（2）取中點，中點，連接，則即為二面角的平面角，再利用余弦定理求出其余弦值.

（3）利用等體積法，求出到平面的距離及的長度，從而表示出關于的函數，求出最大值.

（1）取中點，聯結和，

∵，為中點，又為中點，，

，，

同理，平面，；

（2）取中點，中點，連接，

則，，即為二面角的平面角，

設，則，

，即二面角的余弦值為

（3）設，到平面的距離為，

則，

由等體積法，，即，

可得，

而，

∴

，

當且僅當，即時，等號成立，

即的最大值為.