Question

設函數f（x）=ax³+bx+c（a≠0）為奇函數，其圖象在點（1，f（1））處的切線與直線x-6y-7=0垂直，導函數f′（x）的最小值為-12
（1）求a，b，c的值；
（2）求函數f（x）的單調增區間，并求函數f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值
（3）若對任意x∈（0，m），都有f（x）＜6x恒成立，求m的范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據奇函數求出c的值，再根據導函數f′（x）的最小值求出b的值，最后依據在x=1處的導數等于切線的斜率求出c的值即可；
（2）先求導數f′（x），在函數的定義域內解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，求得區間即為單調區間，根據極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點的函數值比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值；
（3）令g（x）=f（x）-6x=2x³-18x＜0，求出解集，使得（0，m）是g（x）＜0的子集即可，從而求出m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數，
∴f（-x）=-f（x），
即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c，
∴c=0，
∵f′（x）=3ax²+b的最小值為-12，
∴b=-12，
又直線x-6y-7=0的斜率為

1

6

，則切線的斜率為-6，
∴f′（1）=3a+b=-6，
∴a=2，b=-12，c=0；
（2）∵f（x）=2x³-12x，
∴f′（x）=6x²-12=6（x+

2

）（x-

2

），列表如下：

x	（-∞，- 2 ）	- 2	（- 2 ， 2 ）	2	（ 2 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大	減	極小	增

所以函數f（x）的單調增區間是（-∞，-

2

）和（

2

，+∞），
∵f（-1）=10，f（

2

）=-8

2

，f（3）=18，
∴f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是-8

2

；
（3）∵對任意x∈（0，m），都有f（x）＜6x恒成立，
∴令g（x）=f（x）-6x=2x³-18x＜0，
解得x＜-3，或0＜x＜3，
∴對任意x∈（0，m），都有f（x）＜6x恒成立，則m的范圍是（0，3]．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性、二次函數的最值、導數的應用等基礎知識，以及推理能力和運算能力．屬于中檔題．