Question

【題目】已知函數（）．

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若不等式對任意恒成立．（i）求實數的取值范圍；（ii）試比較與的大小，并給出證明（為自然對數的底數， ）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）一求切點，二求切點處的導數，即切線的斜率；（2）只需求出函數在區間上的最大值即可，利用導數研究單調性，進一步求其最值構造不等式求解；比較大小可將兩個值看成函數值，然后利用函數的性質求解.

試題解析：（1）因為時， ， ，所以切點為， ，所以時，曲線在點處的切線方程為．
（2）（）由，所以，①當時， ， ，∴在上單調遞增， ，∴不合題意；②當即時， 在上恒成立，∴在上單調遞減，有，∴滿足題意；③若即時，由，可得，由，可得，∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴，∴不合題意，綜上所述，實數的取值范圍是．
（）時，“比較與的大小”等價于“比較與的大小”，設，（ ），則，∴在上單調遞增，因為，當時， ，即，所以，當時， ，即，∴，綜上所述，當時， ；當時， ；當時， .