Question

已知實數q≠0，數列{a_n}的前n項和S_n，a₁≠0，對于任意正整數m，n且m＞n，S_n-S_m=q^mS_n-m恒成立．
（1）證明數列{a_n}是等比數列；
（2）若正整數i，j，k成公差為3的等差數列，S_i，S_j，S_k按一定順序排列成等差數列，求q的值．

Answer 1

分析：（1）令n=m+1，則由題意可得 S_m+1-S_m=q^m•S₁，即 a_m+1=a₁•q^m，可得 

am+1

am

=q，故有

an+1

an

=q（常數），可得數列{a_n}是等比數列．
（2）不妨設i，i+3，i+6，分S_i，S_i+3，S_i+6成等差數列、S_i+3，S_i，S_i+6成等差數列、S_i+3，S_i+6，S_i成等差數列這三種情況，分別求出公比q的值．

解答：解：（1）令n=m+1，則由題意可得 S_m+1-S_m=q^m•S₁，即 a_m+1=a₁•q^m，
故有 a_m=a₁•q^m-1，∴

am+1

am

=q，∴

an+1

an

=q（常數），
所以數列{a_n}是等比數列，
（2）不妨設公差為3的等差數列為 i，i+3，i+6，若S_i，S_i+3，S_i+6成等差數列，
則 a_i+1+a_i+2+a_i+3=a_i+4+a_i+5+a_i+6=（ a_i+1+a_i+2+a_i+3 ）q³，
即 1=q³，解得 q=1．
若S_i+3，S_i，S_i+6成等差數列，則-（ a_i+1+a_i+2+a_i+3 ）=（ a_i+1+a_i+2+a_i+3+a_i+4+a_i+5+a_i+6 ），
∴2（ a_i+1+a_i+2+a_i+3 ）+（ a_i+1+a_i+2+a_i+3 ）q³=0，即 2+q³=0，解得 q=-

3	2

．
若S_i+3，S_i+6，S_i成等差數列，則有 （ a_i+4+a_i+5+a_i+6）=-（ a_i+1+a_i+2+a_i+3+a_i+4+a_i+5+a_i+6 ），
∴2（ a_i+1+a_i+2+a_i+3 ）q³+（ a_i+1+a_i+2+a_i+3 ）=0，∴2q³+1=0，解得q=-

1

3 2

．
綜上可得，q的值等于1，或等于-

3	2

，或等于-

1

3 2

．

點評：本題主要考查等比關系的確定，等差數列的定義和性質，根據數列的遞推關系求通項，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．